[2016년 백석고]

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[2학년 2학기 중간 확률과 통계]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가 [eqn: {rmP}(X=x)= { x} over { k}(x=1,```2,```3)]일 때, [eqn: {rmP}(2 le X le 3)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4.0점]

①

① [eqn: 5over6]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1over2]
④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over6]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가 다음과 같다.
[eqn: {rmP}(X=x)=_25 {rmC}_x p^x (1-p)^25-x (x=0,```1,```2,```cdots,```25)]
확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 5]일 때, [eqn: {rmE}(X^2 )]의 값은? (단, [eqn: 0<p<1]이다.) [4.0점]

②

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]
④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

홀수 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: n]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3]개의 구슬이 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 복원추출로 [eqn: 2]개의 구슬을 꺼낼 때, [eqn: 2]개의 구슬에 적혀 있는 수의 평균을 [eqn: barX]라 하자. [eqn: {rmP}(barX >7)= { 1} over { 3}]일 때, [eqn: n]의 값은? (단, 모든 구슬의 크기와 모양이 같다.) [4.1점]

②

① [eqn: 15]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 7]

어느 휴대전화 회사의 시장 점유율은 [eqn: 20%]라고 할 때, [eqn: 100]명의 휴대전화 사용자 중 이 회사 제품을 사용하는 사람이 [eqn: 12]명 이상 [eqn: 24]명 이하일 확률을 아래 표준정규분포를 이용하여 구한 것은? [4.1점]

④

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

① [eqn: 0.53]	② [eqn: 0.62]	③ [eqn: 0.67]
④ [eqn: 0.82]	⑤ [eqn: 0.91]

어느 제과점에서 만드는 과자 한 개의 무게는 평균이 [eqn: 20rmg], 표준편차가 [eqn: rm2g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제과점에서는 과자 [eqn: 16]개씩을 한 상자에 담아서 판매하는데, [eqn: 16]개의 과자를 담은 상자의 무게가 [eqn: 306.88rmg] 이하이거나 [eqn: 333.12rmg] 이상이면 반품된다고 한다. 어느 날 이 제과점에서 출하한 과자 상자 [eqn: 100]개 중에서 반품된 상자가 [eqn: 13]개 이하일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4.2점]

③

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 1.64]	[eqn: 0.45]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

① [eqn: 0.66]	② [eqn: 0.79]	③ [eqn: 0.84]
④ [eqn: 0.93]	⑤ [eqn: 0.97]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지 숫자가 각각 하나씩 적혀 있는 공 [eqn: 6]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 동시에 [eqn: 3]개의 공을 꺼내는 시행을 [eqn: n]회 반복할 때, [eqn: 3]개의 공에 적힌 숫자의 합이 [eqn: 3]의 배수가 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {rmV}(X)=36]일 때,
[eqn: {rmP}(57 le X le 72)]의 값을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4.2점]

③

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.5328]	② [eqn: 0.6247]	③ [eqn: 0.6687]

④ [eqn: 0.7745]	⑤ [eqn: 0.8185]

분산이 [eqn: sigma^2]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 모평균 [eqn: m]을 추정한 후 신뢰구간의 길이를 구하고자 한다. 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 74%]의 신뢰구간의 길이가 [eqn: l]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: alpha%]의 신뢰구간의 길이는 [eqn: l over3]이고, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: beta%]의 신뢰구간의 길이는 [eqn: 4over3 l]이다. 이때, [eqn: beta-alpha]의 값은? [4.4점]

④

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 0.38]	[eqn: 0.15]
[eqn: 0.76]	[eqn: 0.27]
[eqn: 1.14]	[eqn: 0.37]
[eqn: 1.52]	[eqn: 0.44]
[eqn: 1.90]	[eqn: 0.47]

① [eqn: 24]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 64]

우리나라 성인을 대상으로 특정 질병에 대한 항체 보유비율을 조사하려고 한다. 모집단의 항체 보유 비율을 [eqn: p], 모집단에서 임의로 추출한 [eqn: n]명을 대상으로 조사한 표본의 항체 보유비율을 [eqn: hatp]이라고 할 때, [eqn: |hatp -p|le 0.08 sqrt { hatp (1-hatp )}]일 확률이 [eqn: 0.9544]일 때,
[eqn: | hat{p} -p| LEQ k sqrt {hat{p} (1- hat{p} )}]일 확률이 [eqn: 0.8664]이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: rm P it (0 LEQ Z le 1.5)=0.4332], [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)=0.4772]이다.) [4.4점]

⑤

① [eqn: 0.02]	② [eqn: 0.03]	③ [eqn: 0.04]
④ [eqn: 0.05]	⑤ [eqn: 0.06]

어느 재래시장을 이용하는 고객의 집에서 시장까지의 거리는 평균이 [eqn: 1660rmm], 표준편차가 [eqn: 500rmm]인 정규분포를 따른다고 한다. 집에서 시장까지의 거리가 [eqn: 2000rmm] 이상인 고객 중에서 [eqn: 40%],
[eqn: 2000rmm] 미만인 고객 중에서 [eqn: 20%]는 자가용을 이용하여 시장에 온다고 한다. 자가용을 이용하지 않고 시장에 온 고객 중에서 임의로 [eqn: 1]명을 선택할 때, 이 고객의 집에서 시장까지의 거리가
[eqn: 2000rmm] 미만일 확률은 [eqn: q overp]([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: {rmP}(0 le Z le 0.68)=0.25]로 계산한다.) [4.6점]

⑤

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

어느 농장에서 출하되는 수박의 무게는 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 수박 중 [eqn: 169]개를 임의 추출하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간이 [eqn: [a,```b]]이고, [eqn: n]개를 임의추출하여 얻은 모평균에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간이 [eqn: [c,```d]]이다. [eqn: 2a+3d=2b+3c]일 때, [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rmP}(|`Z`|le2)=0.95], [eqn: rm P it (|`Z`| LEQ 2.6)=0.99]로 계산한다.) [4.6점]

④

① [eqn: 144]	② [eqn: 169]	③ [eqn: 196]
④ [eqn: 225]	⑤ [eqn: 256]

[eqn: 2] 이상인 상수 [eqn: k]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}(100,```(n+k)^2 )]를 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포
[eqn: {rmN}(100+k,```(n+k+1)^2 )]을 따른다. 그림과 같이 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 정규분포곡선과 직선 [eqn: x=100]으로 둘러싸인 색칠한 부분의 넓이를 [eqn: S_n], 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 정규분포곡선과 직선
[eqn: x=100+k]로 둘러싸인 색칠한 부분의 넓이를 [eqn: T_n]이라 하자.
[eqn: sum_n=2 ^19 (S_n -T_n )={rmP}left( { 4} over { 9}le Z le { 8} over {9}right)]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: Z]는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) [4.7점]

⑤

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

정규분포 [eqn: {rmN}(m,```sigma^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n_1]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 이용하여 얻은 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: alpha%]의 신뢰구간의 길이가 [eqn: 3over5 sigma]이다. 모집단에서 크기가 [eqn: n_2]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X_n]이라 할 때,
[eqn: {rmP}left(|bar{X_n }-m|le { 2} over {5 } sigma right)= { alpha} over {100 }]가 성립하기 위한 자연수 [eqn: n_2]에 대하여 [eqn: { n_2} over {n_1 }]의 값은? [4.7점]

①

① [eqn: 9over16]	② [eqn: 16over9]	③ [eqn: 4over9]
④ [eqn: 9over4]	⑤ [eqn: 9over25]

단답형

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 표와 같을 때, [eqn: {rmE}(4X+2)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 양수이다.) [4.0점]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	계
[eqn: rmP it (X=x)]	[eqn: a^2]	[eqn: a over2]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: 1]

[eqn: 11]

[eqn: 10]명을 모집하는 어느 기획사의 가수 오디션에 [eqn: 500]명이 참가하였다. 참가자들의 점수분포는 [eqn: 100]점 만점에 평균이 [eqn: 72]점, 표준편차가 [eqn: 5]점인 정규분포를 따른다고 한다. [eqn: 1]차 합격자로 [eqn: 2]배수를 선발한다고 할 때, 아래 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: 1]차 합격자의 최저점수를 구하시오. [4.0점]

[eqn: 80.5]점

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.4]	[eqn: 0.42]
[eqn: 1.6]	[eqn: 0.44]
[eqn: 1.7]	[eqn: 0.46]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

정규분포 [eqn: rmN(50,```8 ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: barX], 정규분포 [eqn: {rmN}(75,```sigma ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: barY]라 하자. [eqn: rm P it ( bar{X} le53)+{rmP}(barY le 69)=1]이고 [eqn: {rmP}(barX ge 54)=0.0228]일 때, 아래 표준정규분포표를 이용하여 다음 물음에 답하시오. [총 6.0점]

(1) [eqn: 36]

(2) [eqn: 0.0668]

(3) [eqn: 175]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

(1) 상수 [eqn: n]과 [eqn: sigma]에 대하여 [eqn: n+sigma]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: {rmP}(barY ge 81)]의 값을 구하시오. [2.0점]

(3) [eqn: {rmP}left(barX le { a} over {3 }right) = {rmP}left( barY ge { a} over { 3}right)]을 만족하는 상수 [eqn: a]의 값을

구하시오. [2.0점]

상수 [eqn: d]에 대하여 [eqn: a_0 =1]이고 [eqn: a_n =dn+1(n=0,```1,```2,```cdots,```36)]인 수열의 값을 가지는 확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가
[eqn: {rmP}(X=a_n )=_36 {rmC}_n left( { 1} over { 6}right)^n left( { 5} over {6 }right)^36-n]
이고, [eqn: {rmE}(X)=13]일 때, 다음 물음에 답하시오. [총 7.0점]

(1) [eqn: 2]

(2) [eqn: 189]

(3) [eqn: {1} over {2} left( {5} over {4} right) ^{36}], [eqn: {1} over {4} LEFT ( {7} over {4} RIGHT ) ^{36}]

(1) 상수 [eqn: d]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: sum_n=0 ^36 (dn+1)^2 `_36 {rmC}_n left( { 1} over {6 }right)^n left( { 5} over {6 }right)^36-n]의 값을 구하시오. [2.0점]

(3) [eqn: b_0 = { 1} over {d }]이고 [eqn: b_n =d^n-1 (n=0,```1,```2,```cdots,```36)]인 수열의 값을

가지는 확률변수 [eqn: Y]의 확률질량함수가

[eqn: rm P it (Y=b _{n} )= _{36} rm C it rm _{n} LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{36-n}]

일 때, [eqn: {rmE}(Y)]과 [eqn: {rmE}(Y^2 )]의 값을 각각 구하시오. [3.0점]

서술형

어느 회사에서 생산하는 제품 [eqn: rmA]의 무게는 평균이 [eqn: 500], 표준평차가 [eqn: 5]인 정규분포를 따르고, 제품 [eqn: rmB]의 무게는 평균이 [eqn: 600], 표준편차가 [eqn: 6]인 정규분포를 따른다. 이 회사에서 생산하는 제품 [eqn: rmA] 중에서 임의로 택한 [eqn: 1]개의 무게가 [eqn: 495] 이하일 확률과 이 회사에서 생산하는 제품 [eqn: rmB] 중에서 임의로 택한 [eqn: 1]개의 무게가 [eqn: k] 이상일 확률이 서로 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, 무게의 단위는 [eqn: rmg]이다.) [4.0점]

[eqn: 606]

어느 공장에서 만드는 제품 [eqn: rmA]의 무게는 평균 [eqn: 120rmg], 표준편차 [eqn: 10rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 만드는 제품 [eqn: rmA] 중에서 임의추출한 [eqn: 1]개의 무게가 [eqn: 130rmg] 이상일 확률을 [eqn: p_1], 임의추출한 [eqn: 4]개의 무게의 평균이 [eqn: 130rmg] 이상일 확률을 [eqn: p_2]라 할 때, [eqn: p_1 -p_2]의 값을 아래 표준정규분포를 이용하여 구하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: 0.1359]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it 0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

[eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 팀이 경기를 하여 이긴 팀만 승점 [eqn: rm2]점을 얻는 방식으로 총 [eqn: 64]경기를 실시한 후 [eqn: 2]경기를 이긴 팀이 최종 우승하는 파이널시리즈를 실시한다고 한다. [eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 팀이 [eqn: 64]경기를 실시하여 승점이 [eqn: 72]점 이상인 팀이 있는 경우에는 그 팀이 [eqn: 1]승을 안고 치르게 되어 파이널시리즈에서 [eqn: 1]승만 하면 최종 우승을 하게 되고, 그렇지 않은 팀은 [eqn: 1]패를 안고 치르게 되어 먼저 [eqn: 2]승을 해야만 최종 우승할 수 있다. 승점이 [eqn: 72]점 이상인 팀이 없고 [eqn: 72]점 미만일 경우에는 파이널시리즈에서 [eqn: 3]경기 중 먼저 [eqn: 2]승을 하는 팀이 최종 우승팀이 된다고 한다. 각 팀이 이길 확률이 [eqn: 1over2]이고 무승부는 없다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rmP}(0 le Z le 1)= { 17} over { 50}]로 계산한다. [총 9.0점]

(1) [eqn: {4} over {25}]

(2) [eqn: {3} over {25}]

(3) [eqn: {6} over {25}]

(1) [eqn: rmA]팀이 [eqn: 64]경기 실시 후 승점이 [eqn: 72]점 이상일 확률을 구하고

그 과정을 서술하시오. [2.0점]

(2) [eqn: rmA]팀이 [eqn: 64]경기 실시 후 승점이 [eqn: 72]점 이상이고

파이널시리즈를 실시하여 최종 우승할 확률을 구하고

그 과정을 서술하시오. [3.9점]

(3) [eqn: rmA]팀이 최종 우승하였을 때, [eqn: 64]경기를 실시하여 [eqn: rmA]팀의

승점이 [eqn: 72]점 이상이었을 확률을 구하고 그 과정을

서술하시오. [4.0점]

연속확률변수 [eqn: X]가 갖는 값의 범위가 [eqn: 0 le X le 4]이고, 확률변수 [eqn: X]와 그 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) [총 9.0점]

(1) [eqn: 15]

(2) [eqn: 13]

(가) [eqn: f(2+x)=f(2-x)]

(나) [eqn: 0 le x le 2]인 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: {rmP}(x le X le 2)= { 1} over { 24}(ax^2 +bx+c)]

(다) [eqn: int_2 ^3 f(x)dx= { 7} over { 24}]

(1) [eqn: a-b+c]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [4.0점]

(2) [eqn: int_1 ^3 xf(x)dx = q overp]([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)일 때,

[eqn: p+q]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[2016년 백석고]

[2학년 2학기 중간 확률과 통계]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com